En este primer bloque comenzarás a introducirte al cálculo. Iniciarás con los temas de límites y continuidad que te posibilitarán analizar cómo se comporta una función a lo largo de toda su trayectoria. Compararás las funciones continuas de las discontinuas y aprenderás a calcular límites de una función que presenta diferentes características y operaciones; asimismo, identificarás cuándo el valor de un límite es determinado o indeterminado y si es posible eliminar la indeterminación. También, podrás interpretar ciertas gráficas de funciones continuas y discontinuas determinando el concepto de asíntota y su representación gráfica.
Posteriormente, verás la manera en la que se pueden derivar funciones de diferentes tipos, dependiendo de los elementos y operaciones que contienen. Examinarás, además, la manera en la que se deriva una función implícita, recordando el modo en el cual se despeja una función. Por último, calcularás derivadas de orden superior como un proceso repetitivo de derivación hacia una función base, también se analizarán las funciones crecientes y decrecientes y se verá la relación que existe entre esta característica y el signo de la primera derivada de la función.
Para conocer más acerca de estas temáticas, te invitamos a consultar los siguientes recursos:
Inicia con la consulta de las páginas 1 a 15 del documento “Capítulo II Límites y Continuidad”, en: https://web.archive.org/web/20130722004736/https://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CAPITULO_II_LIMITES_I.pdf En este recurso se definen y muestran ejemplos de lo es un entorno o vecindad y el límite de una función. Más adelante, se definen los límites laterales con el teorema que permite determinar la existencia o la no existencia del límite de una función, así como, los diferentes casos que se pueden presentar. Se prosigue con las especificaciones del límite de una función constante, de la función identidad, las propiedades de los límites y sus teoremas, cómo se realiza el cálculo de límites cuando tiende a infinito o cuando la función está determinada por más de una regla de concordancia y cuando las formas son determinadas e indeterminadas.
Para profundizar sobre cómo se calculan los límites e introducirte al tema de continuidad, lee las páginas 11 a 21 del documento “Tema 3. Repaso de funciones elementales, límites y continuidad” en: https://www.ugr.es/~ahurtado/PDF/Tema3.pdf En este texto se sintetiza y ejemplifica el concepto de límite, sus propiedades, cómo se calculan los límites en el infinito, las técnicas para calcular límites con distintos tipos de indeterminación, por ejemplo cuando los límites de funciones racionales cuando x tiende a cero con el uso del número E. Sigue con la definición de asíntota para, finalmente, realizar un resumen sobre continuidad que incluye su definición, las condiciones que debe cumplir una función para ser continua, los tipos de discontinuidad que pueden presentarse, las propiedades de las funciones continuas y algunos de los teoremas que ponen donde se ponen de manifiesto algunas de las propiedades más relevantes de las funciones continuas.
Prosigue con la revisión de las páginas 42 a 52 del documento “2. Continuidad de funciones” en: https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/2/1486.pdf, donde se exponen las definiciones matemáticas y ejemplos de cuando una función es continua en un punto o en un intervalo, así como, cuando una función presenta discontinuidad y el tipo de ésta (especificando en qué casos podría ser una discontinuidad removible); además, se explica cuando el límite por la izquierda y el límite por la derecha tienden al mismo valor.
A manera de introducción, lee las páginas 202 a 209 correspondiente al Capítulo 6. Derivadas del libro “Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable” en: https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf, donde se expone el concepto de derivada a partir de su interpretación física y geométrica, además, de a qué se refiere la derivada en un punto.
Conoce los métodos de derivación consulta las páginas 94 a 104 correspondientes al apartado 3.3. Cálculo de derivadas y A14 del Anexo “C” del libro “Cálculo 1 para estudiantes de ingeniería” en: http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/jspui/bitstream/132.248.52.100/13418/1/CALCULO%201%20PARA%20ESTUDIANTES%20DE%20INGENIERIA.pdf En este recurso se muestran los teoremas básicos para derivar funciones algebraicas, en qué consiste la regla de la cadena, cómo se lleva a cabo la derivación implícita, de funciones inversas, de funciones trascendentales (incluyendo funciones trigonométricas directas e inversas), funciones exponenciales y algorítmicas, así como, las funciones de orden superior. En cada caso, se muestran ejemplos donde se aplica el procedimiento de derivación.
Con la finalidad de profundizar en los métodos de derivación, observa los minutos 5:13 a 16:53 del video “Cómo sacar la derivada de una función paso a paso” en: https://youtu.be/UTLlK5HvbmY, donde se precisan los 3 pasos para derivar una función: 1) modificar función; 2) sacar constantes y derivar sumando a sumando; 3) aplicar la tabla de derivadas si es elemental, en caso contrario, analizar si se puede aplicar la regla de la cadena, del producto o del cosciente. Te invitamos a que revises detalladamente este recurso y prestes especial atención en cómo simplificar el proceso de derivación de una función.
Finalmente, sigue ahondando en los métodos de derivación con la consulta de las páginas 177 a 179, 184-188 y 198 a 203 del libro “Cálculo de una variable” en: https://drive.google.com/file/d/0Bw5ndhsKwA2Dc0NPWUxYX21sbkE/view?pli=1&resourcekey=0-v2k8Bjxdg6w9bIJ3ZRpchw En ellas, se explica la formación de nuevas derivadas a partir de funciones anteriores con la regla del múltiplo constante, la regla de la suma, la regla de la diferencia, la regla del producto y del cociente, así como, la regla de la potencia combinada con la regla de la cadena.
