Bloque 2. Diversas aplicaciones de la derivada y Máximos y mínimos relativos y absolutos.

Te damos la más cordial bienvenida al segundo bloque de Cálculo.

Durante este bloque seguirás profundizando en las aplicaciones de la derivada desde el aspecto gráfico, numérico y algebraico. Analizarás que las derivadas pueden aplicarse en diferentes áreas de estudio y revisarás cómo se emplean las reglas y teoremas que aprendiste en el bloque anterior para el cálculo de la derivada en funciones específicas, entre ellas, las funciones crecientes y decrecientes.

Posteriormente, te centrarás en analizar la gráfica de una función a partir de un proceso de derivación que se conoce como máximos y mínimos. Con lo que se obtienen (algebraicamente) los puntos principales de una función, como son los puntos donde la gráfica cambia de sentido y el punto de inflexión (en el cual la gráfica cambia de curvatura). Finalizarás con el estudio del cálculo diferencial con el concepto de diferenciable y lo compararás con el proceso de derivación, al aplicarlo a distintos ejercicios.

Reto.

Como ingeniero independiente, un arquitecto te pide que lo ayudes con la construcción de una cerca para un jardín rectangular, la cual debe de quedar dentro de una residencia. Le solicitaron cercar la mayor área posible con el material que le sobró de la construcción de la casa, 1250 metros de malla.
¿Cómo plantearías el problema para obtener la función?, ¿de qué forma utilizarías las derivadas para la solución del problema?, y ¿cuál sería la mayor área posible? Argumenta y justifica el procedimiento de resolución.
En el campo laboral de la ingeniería, todo profesional requiere comprender la aplicación de las derivadas y poder analizar el problema para encontrar las funciones correctas que lleven a su solución matemática para optimizar una cantidad.

Objetivo

• Distinguir las diversas aplicaciones de las derivadas identificando el proceso y los métodos de derivación correspondientes de una función de acuerdo con los elementos y operaciones que contiene, para solucionar problemas concretos en el campo de la ingeniería.
• Interpretar los máximos y mínimos de una función a partir de su despegue algebraico y las particularidades de su gráfica, para identificar los puntos donde ésta cambia de sentido.

Temario

4. Diversas aplicaciones de la derivada

4.1 Aplicaciones geométricas de la derivada

4.1.1 Ecuaciones de la tangente y de la normal

4.1.2 Ángulo de intersección entre curvas

4.1.3 Centro y radio de curvatura

4.1.4 Ecuaciones paramétricas

4.2 Polinomio de Taylor y de Maclaurin

4.3 Teorema de rolle

4.3.1 Teorema del valor medio

4.3.2 Regla de l’Hopital

4.4 Funciones crecientes y decrecientes

4.4.1 Relación con el signo de la derivada

5. Máximos y mínimos relativos y absolutos

5.1 Máximos y mínimos relativos y absolutos

5.1.1 Criterios de la primera y segunda derivada

5.1.2 Criterio de la segunda derivada

5.1.3 Criterio de la segunda derivada, concavidad y puntos de inflexión

5.2 Concepto de función diferenciable y de diferencial

5.2.1 Interpretación geométrica

5.3 Diferenciales de orden superior