Para iniciar con el estudio de las series de potencias, revisa el video “series de potencias: introducción”, en donde encontrarás la forma general de estas ecuaciones y la definición de cada elemento que las conforma. https://www.youtube.com/watch?v=fX95HO2uqVg.
En las páginas 240-242 del libro “matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol. 1. Ecuaciones diferenciales”, puedes revisar a qué se refieren los conceptos de convergencia, intervalos de convergencia, radio de convergencia, convergencia absoluta, punto ordinario y punto singular; es importante tener claros estos conceptos para estudiar el método de series de un punto ordinario. En las páginas 251 a 258 del mismo libro se describen ejemplos de solución de sistemas de ecuaciones en torno a puntos singulares. http://emoodle.emate.ucr.ac.
A continuación, revisa el enlace web “solución numérica de ecuaciones diferenciales”, disponible en: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/numerico/diferencial/diferencial.html, donde se presentan ejemplos de solución de ecuaciones diferenciales con los métodos de Runge-Kutta y de Euler, también conocido como Runge Kutta de primer orden.
Ahora bien, estos dos son ejemplos de métodos de un solo paso, también conocidos como “de inicio”. Pero existen también numerosos métodos de varios pasos o “continuos”; uno de los más utilizados es el de Adams-Bashfort-Moulton; puedes consultar un ejemplo de su aplicación en las páginas 286 y 287 del libro “matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol. 1. Ecuaciones diferenciales”, que revisaste anteriormente.
Una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales de manera rápida, es la transformada de Laplace. Revisa los minutos 05:05 a 12:50 del video “transformada de Laplace: ¿qué es?”, para conocer cómo se aplica para resolver ecuaciones diferenciales. https://www.youtube.com/watch?v=8kEz2DSH9BA.
En las páginas 9 a 22 del documento “transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales”, donde se exponen las propiedades de la transformada de Laplace: linealidad, transformada de la derivada, de la integral y de la convolución; así como las propiedades de la función transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa. http://www.dmae.upct.es/~jose/varcomp/ctrans.pdf.
Las ecuaciones diferenciales que contienen funciones discontinuas son difíciles de tratar analíticamente, pero la transformada de Laplace es de gran utilidad para el tratamiento de dichas discontinuidades. Revisa las diapositivas 33 a 38 de la presentación “transformada de Laplace y sistemas de ecuaciones diferenciales” para estudiar cómo se aplica esta transformada en la función denominada escalón unitario. https://www.dmae.upct.es/~jose/varcomp/ctrans.pdf.
Revisa el video “transformada de Laplace para la función delta de Dirac” para saber cómo se aplica la transformada de Laplace para resolver funciones complejas, como la delta Dirac: https://www.youtube.com/watch?v=
